【検定】エンゼルが欲しいならチョコボールは大人買いすべき

【概要】

当ブログでは、チョコボールのエンゼルはランダムに出てくると仮定して出現確率を推論してきました
でも、ほんとにランダムに現れるのだろうか?
ということで確認してみた

【目次】

はじめに
問題設定
ランダム性の確認
まとめ
参考文献

はじめに

当ブログではここまで、チョコボールのエンゼルは確率 $p$ に従ってランダムに出現すると仮定し、その確率 $p$ を推論してきました。

chocolate-ball.hatenablog.com

しかし、20個セットの箱買いをした場合に、いつもエンゼルが出てくることが気になっていました。

そこで今回は、箱買いした場合、エンゼルの出現はランダムなのか？それとも20個パッケージの中に少なくとも1つのエンゼルが含まれていたりしないか？を検定により確認してみます。

ただし、「まとめ」にも書いていますが、今回の結果は色々怪しいところもありますので、より良い方法や間違っている点について指摘してもらえるとすごく助かります。

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問題設定

小売店では通常、チョコボールはバラバラで一箱づつ売られています（1個80円くらい）。しかし出荷時には、20個が一つにパッケージングされています。多くの店舗では、この20個パックで購入することもできますので、見たことがある方は多いと思います。本記事では、この20個のセットを「カートン」と呼ぶことにします。

当ブログではここまで、バラで購入したチョコボールが多いのですが、カートンで購入したチョコボールも複数あります。このカートンで購入したものについて、ランダムにエンゼルが含まれると仮定した場合に予想されるエンゼルの出現傾向と実際のデータとを比較し、ランダムに含まれるとの仮定（ $H_0$ , 帰無仮説）が棄却されるのか否かを確認してみます。なお、有意水準は5%とします。

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ランダム性の確認

検定に使う仮説を整理します。

帰無仮説 $H_0$ :エンゼルの出現確率は確率 $p$ でランダム
対立仮説 $H_1$ : エンゼルの出現はランダムではなく、カートンに一つ以上混入(カートン内のエンゼル出現確率 $p_1$ は $p$ より大きい)

有意水準は5%（片側検定）とします。

定式化

帰無仮説の下で1カートン内にエンゼルが少なくとも一つは含まれている確率 $\theta$ は以下のように、確率 $p$ でn=20個中に0個出る確率を1から引いた確率です。

$\displaystyle{ \begin{align} \theta = 1.0 - \mathrm{Bin}(X=0 | p, n=20) \end{align} }$

$\theta$ に基づいて、1カートン内にエンゼルが一つ以上含まれている(Y=1)か、含まれていない(Y=0)かを確率変数として、Mカートン分の結果をデータとします( $\mathbf{Y} = {Y_1, \cdots, Y_M}$ )。 $Y_m$ は以下のベルヌーイ分布に従うことになります（帰無仮説の下で）。

$\displaystyle{ \begin{align} p(Y) = \mathrm{Bern}(Y=y | \theta) = \theta^{y} (1-\theta)^{1-y} \end{align} }$

$S=\sum^M_{m=1} Y_m$ とすると、Sは中心極限定理を使って以下の標準正規分布に従います。

$\displaystyle{ \begin{align} z = \frac{S - M \theta}{\sqrt{M \theta (1-\theta)}} \end{align} }$

このzが検定統計量となります。

データ

当ブログで計測したチョコボールを整理すると、以下のようになります。

カートン購入数(M) : 8
エンゼルが含まれていたカートン数(S): 8
- カートンでのエンゼル出現数: 9*1
帰無仮説の下でのエンゼル出現確率の推定値(p): 0.047
- 2021年6月28日の推論結果（推定事後分布の平均値）*2

検定

まず、1カートンにエンゼルが一つ以上含まれる確率 $\theta$ を算出します。

$\displaystyle{ \begin{align} \theta &= 1.0 - \mathrm{Bin}(X=0 | p=0.047, n=20) \\ &\simeq 0.618 \end{align} }$

この結果から、検定統計量は以下のように算出されます。

$\displaystyle{ \begin{align} z &= \frac{S - M \theta}{\sqrt{M \theta (1-\theta)}} \\ &= \frac{8 - 8 \cdot 0.618}{\sqrt{8 \cdot 0.618 (1 - 0.618)}} \simeq 2.22 \end{align} }$